... T2 CR3unde prin perioada de revolutie T se intelege timpul in care planeta descrie o elipsa completa. P B B r A B r r r A A SDaca raza vectoare a planetei descrie ariile SAA si SBB in intervale egale de timp, conform legii a doua a lui Kepler, aceste arii sunt egale.In cele ce urmeaza vom trata Soarele si planete ca pe niste puncte materiale, avand in vedere ca dimensiunile lor sunt neglijabile in comparatie cu distantele ce le separa.In anul 1687 I. Neton a reusit sa explice legile miscarii planetelor presupunand ca Soarele exercita o forta de atractie asupra planetelor.Aceasta forta de atractie se manifesta ca o forta centripeta ce obliga fiecare planeta in parte sa se miste dupa o curba inchisa de forma unei elipse. Neton a demonstrat ca daca se admite ca forta de atractie F din partea Soarelui care actioneaza asupra planetei P este proportionala cu produsul dintre masele acestora si invers proportionala cu patratul distantei r dintre ele, fiind indreptata catre Soare dupa directia PS, atunci pot fi explicate cele trei legi ale lui Kepler. S-a presupus deci ca forta este data de relatia Ms mp F K r2unde Ms este masa Soarelui, mp este masa planetei iar K este o constanta de elasticitate.Sa cautam sa demonstram legile lui Kepler .Pentru a scrie pe F sub forma vectoriala, sa consideram vectorul r indreptat de la S la P si sa avem ca forta are directia lui r , dar sensul contrar al acestuia. Prin urmare Ms mp r Msmp F -K -K r r2 r r3Momentul acestei forte fata de punctul S este Msmp MF r X F -K r X r 0 r3Folosind ecuatia, L0 t 0, rezulta ca momentul cinetic L r x p este constant in timp, pastrand aceeasi marime, directie si sens in tot timpul miscarii.Din produsul vectorial L r X p se observa ca L r si L p, ceea ce inseamna ca vectorii r si p sunt perpendiculari in tot cursul miscarii pe vectorul constant L, adica r si v, deci si traiectoria, se afla in planul perpendicular pe L, plan care trece prin S. Traiectoria miscarii este o curba care se gaseste in acelasi plan.Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesita calcule mai complicate care arata ca traiectoria este fie o elipsa, fie o parabola, fie o hiperbola , dupa cum viteza initiala a corpului aflat sub actiunea fortei este mai mare sau mai mica. In cazul planetelor viteza initiala corespunde conditiilor de miscare pe elipse.In concluzie, forta de atractie explica prima lege a lui Kepler.Sa consideram acum o portiune din traiectorie. Aria S a triunghiului ASBeste data de modulul vectorului 1 S r X r 2 Impartind cu intervalul de timp t, in care Pamantul s-a deplasat din A in B, obtinem S1rXr t2tsi daca presupunem t foarte mic t0, rezulta S1rXv1rrrXp1L t22mp2mpDeoarece pentru r foarte mic arcul AB coincide cu coarda ABin limita t0, S12mpLt este tocmai aria suprafetei masurate de raza vectoare in intervalul de timp t. Deoarece Lconstant, pentru orice interval de timp t putem scrie S1mpLt2 Se vede imediat din ultima relatie ca in unitatea de timp, indiferent de pozitia instantanee a planetei pe traiectorie, raza vectoare a acesteia descrie o suprafata de aceeasi marime, StL2mp Prin urmare, in intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie arii egale am obtinut deci si a doua lege a lui Kepler. Deoarece demonstratia legii a treia a lui Kepler este mai dificila din punct de vedere matematic, vom simplifica lucrurile, presupunand ca traiectoria planetei este circulara aceasta situatie corespunde satelitilor artificiali care se misca pe orbite circulare . Egaland forta de atractie cu forta centripeta obtinem Msmp K mp2R R2unde am avut in vedere ca distanta de la planete la Soare este egala cu raza R a cercului. Rezulta de aici relatiile 42 42 KMs2R3 , deci T2 T2R3 KMsR3Notand costanta 42KMs cu C, obtinem a treia lege a lui Kepler T2CR3,deoarece, in miscarea circulara, distanta de la un punct oarecare de pe circumferinta pana la centru este egala cu raza cercului. Cercul poate fi considerat ca un caz particular de elipsa cu semiaxele egale intre ele si egale cu raza R a cercului.Daca tinem seama de dimensiunile Soarelui si planetelor, toata expunerea de mai sus ramane valabila, prin r intelegand insa vectorul ce uneste centrul Soarelui cu centrul planetei.Dupa cum se remarca , directia fortei de atractie trece intotdeauna prin centrul Soarelui. O astfel de forta, a carei directie trece printr-un punct fix, se numeste forta centrala.Pe linga atractia Soarelui, planeta noastra este supusa si atractiei din partea celorlalte planete din sistemul solar. Dintre toate acestea, cea mai importanta este insa forta de atractie FL din partea Lunii, care totusi de 127 de ori mai mica decat atractia solara ,mai exact FL10,0058 FS127,415 Fortele de atractie Fs a Soarelui si FL a Lunii sunt dirijate respectiv dupa directiile ce unesc centrul Pamantului cu centrele celor doua corpuri ceresti, situate la distantele D si, respectiv, d.Forta totala care actioneaza asupra pamantului este MS mp m1 mp F Fs FLK D K d D3 ...
Download