...si imparatul Frederik al II-lea. Problema propusa concurentilor suna astfelPlecand de la o singura pereche de iepuri si stiind ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine productiva la varsta de 1 luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi dupa n luni. de asemenea se considera ca iepurii nu mor in decursul respectivei perioade de n luniVom prezenta in continuare solutia problemei si modul in care vestitul sir al lui Fibonacci poate fi utilizat in rezolvareSOLUTIEDin datele problemei rezulta ca numarul perechilor de iepuri din fiecare luna este un termen al sirului lui Fibonacci. Intr-adevar, sa presupunem ca la 1 ianuarie exista o singura pereche fertila de iepuri. Notam cu 1 perechea respectiva. Ea corespunde numarului F2 din sirul lui FibonacciF2F0F1011La 1 februaria mai exista o pereche pe care o notam cu 1.1. Deci in acest moment sunt doua perechi, ceea ce corespunde termenuluiF3F1F2112La 1 martie sunt 3 perechi, doua care existau in februarie si una noua care provine de la perechea numarul 1. Notam cu 1.2 aceasta noua pereche. Numarul perechilor din aceasta luna corespunde termenuluiF4F2F3123Prezentam in figura de mai jos arborele genealogic al celor trei perechi 11.2La 1 aprilie exista 5 perechi si anumetrei perechi existente in luna martieo pereche noua care provine de la parechea 1 o pereche noua care provine de la perechea 1.1 care la 1 martie a devenit fertila pereche pe care o notam cu 1.1.1. Din nou se obtine urmatorul arbore genealogic 11.11.21.31.1.1Numarul perechilor din aceasta luna corespunde termenuluiF5F3F4235Termenii din aceasta relatie se interpreteaza astfelF4numarul perechilor existente in luna precedentaF3numarul perechilor noiele provin de la perechile existente in luna anteprecedentaProcedand in continuare in acest fel, vom deduce ca la data de 1 decembrie numarul perechilor este dat de termenul F13F11F1289144233,iar la 1 ianuarie anul urmatoe existaF14F12F13144233377 perechi de iepuri.Concluzia ar putea fi urmatoareaSa notan Fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa n1 luni, notat Fn1, va fi Fn iepurii nu mor niciodata!, la care se adauga iepurii nou-nascuti. Dar iepurasii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel putin o luna, deci vor fi Fn-1 perechi de iepuri nou-nascuti.Obtinem astfel o relatie de recurentaFn1 Fn Fn-1F11F00.Aceasta relatie de recurenta reprezinta regula care genereaza termenii sirului lui Fibonacci. Vom prezenta in continuare si un program care genereaza termeni Fibonacci pana la un numar natural dat si care verifica daca un numar cerut este sau nu in sirul lui Fibonacciprogram fibonacciuses crtvar varrayi1..100s of integer n,k,i,a,bintegerbeginclrscrritelnIntroduceti numarul pana la care doriti sa se afiseze valori din sirul lui Fibonaccinreadna1b1vi1s1vi2s1k2hile viksn dobeginkk1babviksbkk1aabviksaendfor i1 to k-1 doritelnviisif nvik-1s then ritelnNumarul dat de dumneavoastra este in sirul lui Fibonacci! else ritelnNumarul dat de dumneavoastra nu este in sirul lui Fibonacci!readlnreadlnend.Despre Sectiunea de aurProblema inmultirii iepurilor este departe de a fi realista, chiar daca a dus la o descoperire atat de importanta cum este acest sir. Dar cunoscutul sir al lui Fibonacci, generat de aceasta problema, are numeroase aplicatii, deosebit de interesante. Unul dintre cele mai importante aspecte este legatura dintre numerele Fibonacci si sectiunea de aur.Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale sau , pare a face parte din constitutia Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie. De exemplu, o regasim in modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau semintelor la plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc, etcAcest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei antice din secolul lui Pericle respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, aceasta fiind considerata o masura a armoniei si echilibrului.O modalitate de determinare a sectiunii de aurSa consideram un segment AB si CAB, un punct care imparte segmentul AB in doua parti inegale ACCB. Segmentele AC si CB sunt in sectiunearaportul de aur notat in mod uzual cu dacaABtACACtCBNotand AC cu x si CB cu y, obtinemxytxxty 1ytxxty 11t 2--10 Rezolvand ecuatia de gradul al II-lea si luand in considerare numai radacina pozitiva, obtinem151t2t21,61803398875Plecand de3 la relatia 12, prin inmultiri succesive cu obtinem2 3234n-1nn1Prin urmare acest sir formeaza o progresie geometrica cu ratia , dar in plus respecta si o lege aditiva fiecare termen e egal cu suma celor doi termeni precedenti.Sa revenim acum la relatia de recurenta care defineste termenii sirului lui Fibonacci. Pentru adetermina o alta formula pentru termenii sirului Fibonacci, vom determina , , u, v astfel incat fnunvn, n011A-prGI 12iteia ajn-.NaàààààààààààààjeCJjpCJ6BOJQJBCJHajBCJUmHajCJ
UmH6BCJ6BCJ6CJ6BCJBCJ56BCJ ajUmHia!QFGIaa!QFGIsnà28iI ia 3NOAaGPRsàa acsnà 4b 13xNO...
Download