...alnire dupa 42 minute de la prima intalnire.Care este viteza de deplasare b Care este distanta dintre A si B Daca dupa a doua intalnire automobilul care a plecat din B isi mareste viteza cu o treime, la ce distanta de B are loc a treia intalnireMaria Diaconu, Elena Maiug, invatatoare, Rm. ValceaClasa a V-a Fie S EMBED Equation.3 .Cati termeni are suma b Este S un patrat perfectArtur Balauca, profesor, BotosaniAflati valoarea raportului dintre cel mai mare si cel mai mic numar natural de forma EMBED Equation.3 , fiecare fiind produsul a trei numere prime.Leon Genoiu, profesor, Rm. ValceaIntr-o cutie sunt creioane colorate cu una dintre culorile albastru, rosu, respectiv verde. Numarul creioanelor albastre reprezinta EMBED Equation.3 din numarul celor rosii, iar cele rosii reprezinta EMBED Equation.3 din numarul celor verzi. Sa se afle cate creioane sunt de fiecare fel daca numarul total de creioane este de forma EMBED Equation.3 Nicolae Serban, profesor, Rm. ValceaDublul numarului paginilor unie carti este egal cu numarul cifrelor folosite in paginarea acesteia. Cate pagini are cartea Daca intr-o zi citesc cu o pagina mai mult decat in ziua precedenta, in cate zile pot citi cartea, daca o citesc in cel mult 10 zile si cate pagini citesc in fiecare ziMariana si Constantin Saraolu, profesori, Rm. ValceaClasa a VI-a Determinati numerele intregi pare care sunt de forma EMBED Equation.3 si indeplinesc simultan conditiile i EMBED Equation.3 ii EMBED Equation.3 iii au 32 divizori fiecare.Ilarie Lazar, profesor, PloiestiAflati numerele prime care verifica relatiile a m2 n2 1706 b x2 y2 3842.Leon Genoiu, profesor, Rm. ValceaFie triunghiul ABC EMBED Equation.3 , unde perpendiculara in C pe BC intersecteaza AB in D si G este mijlocul segmentului AC. a Aratati ca EMBED Equation.3 , unde EMBED Equation.3 b Aflati distanta de la D la dreapta BG, precum si valoarea raportului EMBED Equation.3 , daca EMBED Equation.3 60o, iar BC a.Constantin Dragomir, profesor, PitestiDe aceeasi parte a semidreptei iOA se considera punctele B, C, D cu EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 15o, iar EMBED Equation.3 . Bisectoarea unghiului AOC intersecteaza pe AC in N, iar pe BD in P. Fie Q intersectia dreptelor AC si BD.Aratati ca distanta de la O la dreapta BD este EMBED Equation.3 b Demonstrati ca triunghiul PNQ este dreptunghic isoscel.Gheorghe Radu, profesor, Rm. ValceaClasa a VII-a 1 a Daca EMBED Equation.3 , atunci EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 si EMBED Equation.3 sunt patrate perfecte b Daca a, b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi si p este semiperimetrul sau, atunci exista inegalitatea EMBED Equation.3 .Mucenic Ionescu, profesor, Pitesti2 Determinati numarul intregilor n, cu EMBED Equation.3 , astfel incat EMBED Equation.3 .Maria Ignat, profesoara, Craiova3 a Fie M EMBED Equation.3 si P, Q, R intersectiile semidreptelor iAM, iBM, respectiv iCM cu BC, AC, respectiv AB. Aratati ca suma EMBED Equation.3 este constanta b Fie ABCD un patrulater convex de arie S. Consideram M EMBED Equation.3 AB, N EMBED Equation.3 BC, P EMBED Equation.3 CD, Q EMBED Equation.3 DA. Aratati ca minim una dintre ariile triunghiurilor AQM, BMN, CNP, DPQ este mai mica sau egala decat EMBED Equation.3 . Mariana si Constantin Saraolu, profesori, Rm. Valcea4 In triunghiul echilateral ABC se considera M un punct interior si fie P, Q, R proiectiile lui M pe AB, BC, respectiv AC. Aratati ca a Suma distantelor de la M la laturi este constanta Suma AP BQ CR este constanta c Raportul EMBED Equation.3 este constant, unde M apartine inaltimii din A si AM EMBED Equation.3 PR ITS.Ion Jan Zamfir, profesor, Rm. Valcea Clasa a VIII-a a Sa se rezolve sistemul EMBED Equation.3 , unde a, b,c EMBED Equation.3 R, EMBED Equation.3 b Sa se reprezinte grafic functia f A EMBED Equation.3 R, fx ixs 1, unde A EMBED Equation.3 .Nicolae Seimeanu, profesor, TimisoaraSa se arate ca a exista numere naturale distincte si nenule x, y, z, t, u si v astfel incat x2 y2 z2 t2 u2 v2 b Exista o infinitate de numere naturale distincte care verifica egalitatea de la punctul a.Artur Balauca, porfesor, BotosaniSa se determine cel mai mic numar natural care admite o scriere de forma EMBED Equation.3 , unde a, b, c, d, e, f sunt numere naturale distincte.Liviu Ignat, profesor, Rm. ValceaFie paralelipipedul dreptunghic ABCDABCD. Din A se duc perpendicularele pe AB, AC si AD care intersecteaza pe AB in M, AC in V si AD in P. Sa se arate ca a punctele M, N, P sunt coliniare b PE, MF, AN si AC sunt concurente, unde E si F sunt respectiv picioarele perpendicularelor din A pe AB si AD c EMBED Equation.3 .Nicolae Serban, profesor, Rm. ValceaPROBA COLECTIVAClasa a V-a Sa se arate ca fractia EMBED Equation.3 este ireductibila pentru orice n numar natural impar.Un numar de zece cifre are 9 cifre egale cu 7. Demonstrati ca el nu poate fi patrat perfect.Cristinel Mortici, profesor, TargovistePatru mere cantaresc cat 5 pere, 3 pere cantaresc cat 7 piersici, iar 5 piersici cantaresc cat 8 nuci. Daca pe un taler al unei balante asezam 3 mere, cate nuci trebuie sa asezam pe celalalt taler pentru ca balanta sa fie in echilibruMaria Radu, invatatoare, Rm. Valcea, Constantin Magureanu, profesor, Slatina Clasa a VI-aAflati n intreg astfel incat EMBED Equation.3 Z. Gheorghe Iacob, profesor, Rm. ValceaSa se arate ca intr-un triunghi ABC latura AC, bisectoarea unghiului B si mediatoarea laturii BC sunt concurente intr-un punct P daca si numai daca EMBED Equation.3 .Fie a, b, c EMBED Equation.3 Z astfel incat aa 1 b c, bb 1 a c cc 1 a b. Aratati ca EMBED Equation.3 N.Clasa a VII-aa Aratati ca 1 22 33 10001000 210010 b Daca dintre 3 numere rationale suma oricaror doua este mai mare decat al treilea, atunci dovediti ca numerele sunt strict pozitive.In triunghiul ABC EMBED Equation.3 90o, fei M mijlocul laturii BC. Mediatoarea laturii BC intersecteaza AC in N, astfel incat EMBED Equation.3 . Daca AB a, sa se afle EMBED Equation.3 .Emil Mitrache, profesor, Rm. ValceaFie ABCD un patrulater convex si E, F, G, H simetricele punctelor A, B, C, respectiv D fata de D, A, B, respectiv C. Stiind ca aria patrulaterului EFGH este 100 m2, aflati aria patrulaterului ABCD.Constantin Popescu, profesor, Rm. ValceaClasa a VIII-a1 Fie f R EMBED Equation.3 R cu proprietatea ca oricare ar fi x EMBED Equation.3 R, avem 2fx 3f1 x 4f0 x si g R EMBED Equation.3 R , gx x. Aratati ca Gf EMBED Equation.3 Gg EMBED Equation.3 2 In ortocentrul H al triunghiului ascutitunghic ABC se ridica perpendiculara d pe planul sau. Aratati ca a exista O EMBED Equation.3 d, astfel incat EMBED Equation.3 b daca O EMBED Equation.3 d si EMBED Equation.3 , atunci EMBED Equation.3 c EMBED Equation.3 AB2 BC2 CA2 HA2 HB2 HC2.Aratati ca numerele EMBED Equation.3 si EMBED Equation.3 nu sunt intregi.6...
Download