...BED Equation.3 , deci EMBED Equation.3 .Teorema 2 Orice punct egal departat de capetele unui segment apartine mediatoarei segmentului.Dem. Se considera AB si M un punct astfel incat EMBED Equation.3 Fig.1.2. Daca EMBED Equation.3 , atunci M este mijlocul segmentului AB si apartine mediatoarei. Daca EMBED Equation.3 , fie O mijlocul segmentului AB. EMBED Equation.3 LLL. Deci EMBED Equation.3 . Deoarece cele doua unghiuri sunt si suplementare, rezulta ca EMBED Equation.3 , ceea ce inseamna ca MO este mediatoarea segmentului AB.Asadar mediatoarea unui segment este locul geometric al punctelor egal departate de capetele segmentului.Un alt exemplu de loc geometric este bisectoarea unui unghi.Bisectoarea unui unghi este dreapta care trece prin intersectia a doua drepte diferite, impartind unghiul format de cele doua drepte in doua unghiuri congruente.Teorema 3 Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal departate de laturile unghiului, reunit cu varful unghiului.Dem. a Se va arata ca orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului Fig.1.3. Fie EMBED Equation.3 , O varful unghiului, s bisectoarea lui si EMBED Equation.3 . Se noteaza cu A si B picioarele perpendicularelor din M pe h si respectiv k. EMBED Equation.3 IU EMBED Equation.3 .b Se va arata ca orice punct M egal departat de laturile unghiului si se afla in interiorul unghiului, apartine bisectoarei. Se noteaza cu A si B picioarele perpendicularelor duse din M pe laturile unghiului. EMBED Equation.3 , OM latura comuna si EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 IC EMBED Equation.3 OM bisectoare. Pe baza proprietatilor de loc geometric ale bisectoarelor si mediatoarelor se pot demonstra urmatoarele doua teoreme referitoare la concurenta bisectoarelor si mediatoarelor unui triunghi.Teorema 4 Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente.Dem. Din teorema transversalei rezulta ca bisectoarele unghiurilor A si B intersecteaza pe BC si AC in cate un punct D, respectiv E Fig.1.4. Din aceeasi teorema rezulta ca exista puntul I, EMBED Equation.3 . Asadar EMBED Equation.3 . Din proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi rezulta dI,BC dI,AB, dI,AB dI,AC si deci dI,BC dI,AC si pentru ca EMBED Equation.3 rezulta ca iCI este bisectoarea unghiului C.Teorema 5 Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.Dem. Fie un triunghi ABC, EMBED Equation.3 mediatoarele segmentelor AB respectiv BC, EMBED Equation.3 Fig.1.5. Din proprietatea punctelor mediatoarei EMBED Equation.3 , deci EMBED Equation.3 O apartine mediatoarei segmentului AC.Rezolvarea unor probleme de loc geometricPe langa bisectoarea, mediatoarea, cercul sau arcul, luate ca locuri geometrice, se mai pot adauga si multimea punctelor situate la aceeasi distanta de o dreapta data d este reuniunea a doua drepte paralele cu d, situate in semiplane diferite Fig.2.1. fiind data o semidreapta AB, multimea punctelor M pentru care unghiul EMBED Equation.3 are o masura data este reuniunea a doua semidrepte deschise, cu originea comuna in A, situate in semiplane diferite fata de AB Fig.2.2..Rezolvarea acestor probleme se realizeaza in doua etape prima este aceea in care se incearca determinarea intuitiva a multimii respective, iar in etapa urmatoare se demonstreaza efectiv ca aceasta multime este locul geometric cautat.Problemele au urmatorul tip pozitia unui punct M se determina dupa o regula data in functie de pozitia altor puncte si se cere sa se afle locul geometric al punctelor M atunci cand unul sau mai multe din celelalte puncte sunt variabile si parcurg multimi dateIn prima etapa se incearca gasirea unor puncte speciale ale locului geometric.Determinarea a trei puncte ale locului geomet...
Download