... termenilor precedenti cunoscuti.2. PROGRESII ARITMETICEDefinitie Un sir de numere in care fiecare termen, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin adaugarea aceluiasi numar.Exemplu Fie sirul an, adica a1, a2, a3, , an, , astfel incat a1 3 si a n1 an 2, pentru n1. Deci a1 3, a2 32 5, a3 52 7, a4 72 9 etc.a1, a2, a3, , an, este o progresie aritmetica daca, pentru orice k1, avema k1 ak r unde r este un numar constant pentru sirul dat.Intr- o progresie aritmetica diferenta dintre orice termen si predecesorul sau este egala cu acelasi numar r.Numarul r se numeste ratia progresiei aritmetice.Progresia aritmetica an este complet determinata daca se cunosc primul termen a1 si ratia r.Se spune ca numerele a1, a2, a3, , an sunt in progresie aritmetica daca ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.Teorema 1.Orice termen al unei progresii aritmetice a1, a2, , a n-1, a n, a n1, , incepand cu al doilea este media aritmetica a termenilor vecini lui.Reciproca Daca un sir de numere are proprietatea ca fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este media aritmetica a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie aritmetica.Formula termenului general al unei progresii aritmeticeFie a1, primul termen al progresiei aritmetice si r ratia saAtunci a2 a1 r, a3 a2 r a1r r a1 2r, a4 a3 r a12r r a1 3r s.a.m.dTeorema 2.Termenul general al unei progresii aritmetice este dat de formula an a1n-1rFormula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmeticeFie an o progresie aritmetica de ratie r si fie Sn suma primilor n termini ai sai, adica Sn a1 a2 a3 a n-1 anNumerele a1, a2, a3, , a n-1, an sunt in progresie aritmeticaTeorema 3.Fie numerele a1, a2, a3, , a n-1, an in progresie aritmetica. Atunciak a n-k1 a1 anSuma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egala cu suma numerelor extreme.Suma primilor n termini ai unei progresii aritmetica este egala cu produsul dintre semisuma termenilor extremi ai sumei si numarul termenilor sumei.PROGRESII GEOMETRICEDefinitie Un sir de numere al carui prim termen este nenul, iar fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin inmultirea cu un acelasi numar nenul.Exemplu un sir de numere b1, b2, b3, , bn, b10Este o progresie geometrica daca, pentru orice k1, avem b k1 bkq, unde q0 este un numar constant pentru sirul dat.Intr-o progresie geometrica catul dintre orice termen si predecesorul sau este egal cu acelasi numar q.Numarul q se numeste ratia progresiei geometrice.Progresia geometrica bn este complet determinata daca se cunosc primul termen b1 si ratia q.Numerele b1, b2, b3, , bn sunt in progresie geometrica daca ele sunt termenii consecutive ai unei progresii geometrice.Teorema 4.Orice termen al unei progresii geometrice cu termini pozitivib1, b2, , b n-1, bn, b n1, ,incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilor vecini lui.Pentru orice n 2, bn b n-1 b n1Reciproca Daca un sir de numere cu termeni pozitivi are proprietatea ca fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie geometrica.Formula termenului general al unei progresii geometriceFie b1 primul termen al progresii geometrice si q ratia sa. Deducemb2 b1q,b3 b2 q b1q q b1q2,b4 b3 q b1 q2 q b1 q3 s.a.m.d.Teorama 5.Termenul general al unei progresii geometrice este dat de formula bn b1 q n-1 Formula sumelor primilor n termini ai unei progresii geometriceFie bn o progresie geometrica de ratie q si fie Sn suma primilor n termini ai saiSn b1 b2 b3 b n-1 bnNumerele b1 , b2 , b3 ,, b n-1 , bn sunt in progresie geometrica. Ca si pentru numere in progresie aritmetica, pentru numerele b1 , b2 , b3 ,, b n-1 , bn , care sunt in progresie geometrica, are loc o relatie analoaga bkb n-k1 b1bnProdusul oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egal cu produsul numerelor extreme.IxiCDnoà jaHa5tjmHsH6sm
HsHHmHsHHmHsHamHsH5tmHsHmHsHMSauv!VaaFdhaaaahdhhaaa
aFdhaaaadhaaVoIUVbxy!taaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaFaaaFadh
aa67DEXitsafgt tsyEKLTUXYca56tsj6saHsFaabc!efq9F!-0
257BEHfq...
Download