...pnlcrmtpnstart1tpnindent720tpnhang Itpntxtb SItpntxta SStpardtplain tql tli0tri0tidctlpartaspalphataspnumtfaautotadjustrig
httrin0tlin0titap0tpararsid5971456 tfs24tlang1033tlangfe1033tcgridtlangnp1033tlangfen
p1033 Itinsrsid5971456 tpar tpar tpar tpar tpar tpar tpar tpar I N T R O D U C E R E I N G E O M E T R I Atpar tpar D I F E R E N T I A L A A F I N Atpar tpar tpar tpar Partea Itpar tpar tpar de Katsumi Nomizutpar tpar tpar tpar Prefatatpar tpar Aceasta este partea I a notelor de lectura Introducere in geometriatpar diferentiala afina. A fost intentionata ca o scurta introducere in geometriatpar diferentiala afina clasica, adica, geometriei hipersuprafetelor nedegeneratetpar intr-un spatiu afin pentru care grupul fundamental in intelesul dat detpar Programul Erlangen al lui F. Klein este grupul transformarilor echiafinetpar special afine.tpar tpar Cind am devenit interesat de acest subiect, primul meu scop a fost sa intelegtpar despre ce era vorba intr-adevar. In aceste note am expus modul meu de a intelegetpar aceasta geometrie dintr-un punct de vedere obisnuit in geometria diferentiala intpar zilele noastre. Cu toate ca a fost scris intr-o forma concisa, sper ca va oferitpar cititorului o introducere pe intelesul sau. Intentionez sa continui cu partea IItpar si posibil cu partea III in care as dori sa prezint mai multe rezultate printpar prisma geometriei diferentiale afine clasice, impreuna cu cercetarile facute intpar directia unei abordari mai generale a geometriei scufundarilor afine.tpar tpar Am inceput studiul pe aceasta tema la Institutul Max-Plank pentru Matematica,tpar la Bonn, in 1982, si am continuat cu cercetari ulterioare in colaborare cutpar Ulrich Pinkall, in prezent aflat la Universitatea Tehnica Berlin, de unde autpar provenit vizitele mele la Bonn si Berlin in ultimii ani. Aceste note, partea I,tpar sunt bazate pe lecturile si discutiile de la MPI, TU Berlin, Universitatea Brontpar si Universitatea Canadei.tpar tpar tpar Bonn Katsumi Nomizutpar Iulie 4, 1988tpar tpage tpar tpar tpar Cuprinstpar tpar tpar 1. Structuri echiafine pe hipersuprafete nedegeneratetpar tpar 2. Ecuatii fundamentaletpar tpar 3. Graficul unei functiitpar tpar 4. Forma cubica si apolaritateatpar tpar 5. Inca niste ecuatiitpar tpar 6. Teorema lui Pick si Beraldtpar tpar 7. Scufundari conormaletpar tpar 8. Suprafete afine homogenetpar tpar 9. Laplacianul distantei afine si armonicitatea maparii conormaletpar tpar 10. Un exemplu SLn,RSOntpar tpar 11. Hipersuprafete local simetrice afintpar tpage tpar tpar tpar 1. Structuri echiafine pe hipersuprafete nedegeneratetpar tpar Fie fM t1a R o hipersuprafata in spatiul afin R . Pentru a dezvolta teoriatpar echiafina pentru M presupunem ca R este inzestrat cu o structura echiafina,tpar ceea ce inseamna ca are un element de volum fixat care este paralel fata detpar conexiunea afina canonica obisnuita D in R .tpar Suntem interesati in introducerea unei structuri echiafine ,te9 pe M , undetpar este o conexiune afina invarianta la rotatii si te9 este un element de volum intpar asa fel incit te90. Vom presupune ca R este orientat in asa fel incit 0 si catpar M este de asemenea orientat.tpar Vom construi mai intii o teorie locala. Alegem un cimp vectorial transversaltpar in vecinatatea U a lui M in asa fel incit sa avemtpar tpar 1.1 pentru fiecare xteeUtpar tpar in asa fel incit orientarea lui M urmata de coincide cu orientarea lui R .tpar Fie X si Y cimpuri vectoriale in U. Putem descompune D f Y folosind 1.1 sitpar avemtpar tpar 1.2 in fiecare punct xteeU.tpar tpar La fel ca si in teoria clasica a hipersuprafetelor in spatiul Euclidian, putemtpar verifica ca este o conexiune afina invarianta la rotatii in U, h este un cimptpar tensor care defineste o forma simetrica biliniara pe fiecare spatiu tangenttpar TxM.tpar Numim conexiunea afina determinata si h forma afina fundamentala corespunzindtpar luitpar Putem de asemenea descompune D dupa cum urmeazatpar tpar 1.3tpar tpar unde S este un cimp tensor de tipul 1,1, numit operatorul de forma, si este otpar l-forma, numita forma de conexiune transversala.tpar Acum vom defini elementul de volum determinat te9 in U punindtpar tpar 1.4tpar tpar si sperind sa obtinem proprietatea te90. Avemtpar tpar Lema 1.1. pentru fiecare XteeT M.tpar tpar Demonstratie. Avemtpar tpar tpar tpar tpar tpar tpar unde am folosit D 0 si D X .tpar tpar De aici proprietatea 0, adica D este tanget la M , este cruciala. Vomtpar vedea ca in anumite conditii de nedegenerare pe M putem alege cu aceastatpar proprietate si, intr-adevar, cu o proprietate aditionala, care va face alegereatpar sa unica. Pentru acest scop avemtpar tpar Lema 1.2. Daca alegem un alt cimp vectorial transversal , unde 0,tpar atunci pentru obiectele corespunzatoare avemtpar itpar iitpar iiitpar unde h.,Z este o l-forma a carei valoare pe X este hX,Z.tpar tpar Demonstratie. Verificare directa.tpar tpar Din i avem ca h este determinat pina la o functie scalara 0. Intpar particular, daca h este degenerata sau nedegenerata depinde numai de M si nu detpar alegerea lui . Daca h este nedegenerata in fiecare punct, spunem ca M estetpar nedegenerat.tpar tpar Lema 1.3. Fie M nedegenerat. Daca este un cimp vectorial transversal si otpar functie arbitrara scalara 0, atunci exista un cimp vectorial Z pe M in asatpar fel incit pentru forma conexiunii transversale este 0.tpar tpar Demonstratie. Deoarece h este nedegenerata, putem gasi Z in fiecare T M intpar asa fel incittpar hX,Z- X - d Xtpar pentru fiecare XteeT M. Din ii din Lema 1.2 avem 0.tpar tpar Observatie. Daca doua cimpuri vectoriale transversale si sunt in asa feltpar incit si te9te9 , atunci . Defapt, te9te9 implica 1. iii din Lema 1.2tpar implica Z0.tpar tpar Pentru a determina in mod unic pentru M nedegenerat, mai punem inca otpar conditie. Fie elementul de volum asociat cu metrica h Daca tIX ,..., X tS este otpar baza ortonormala orientata in T M pentru metrica nedegenerata h, atunci X ,tpar ..., X 1.tpar Conditia pe care dorim sa o impunem este ca doua elemente de volum te9 sitpar determinate de alegerea lui coincid. Pentru a studia aceasta conditie, definimtpar o functie H dupa cum urmeaza.tpar Alegem o baza tIX ,..., X tS in asa fel ca te9X ,..., X 1 si punemtpar h hX ,X tpar sitpar H determinantul matricii ih s.tpar Este usor de verificat ca H este independent de alegerea lui tIX ,..., X tStpa...
Download