...1 4 ExempleSa se calculeze log232. Cum 2532,atunci din definitia logaritmului avem log2325.Sa se determine log2 EMBED Equation.3 . Din egalitatea 2-4 EMBED Equation.3 ,obtinem log2 EMBED Equation.3 -4. 3Sa sa determine log1327. Sa consideram ecuatia exponentiala EMBED Equation.3 x27.Cum EMBED Equation.3 -3 EMBED Equation.3 -327,obtinem x-3 si deci log1327-3. 4Sa se determine log4256. Cum 44256,atunci din definitia logaritmului obtinem log42564. Observatii 1.In practica se folosesc logaritmii in baza zece care se mai numesc si logaritmi zecimali.Acestia se noteaza cu lg in loc de log10de aceea nu mai este nevoie sa se specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 in loc de log10106 si lg5 in loc de log105 etc. 2.In matematica superioara apar foarte des logaritmi care au ca baza numarulirational,notat cu e,e2,718281828 .Folosirea acestor logaritmi permite simpli-ficarea multor formule matematice.Logaritmii in baza e apar in rezolvarea unorprobleme de fizica si intra in mod natural in descrierea matematica a unor pro-cese chimice,biologice.De aceea acesti logaritmi se numesc naturali.Logaritmulnatural al numarului a se noteaza lna. 2.Functia logaritmica Fie a0,a EMBED Equation.3 un numar real.La punctul 1 am definit notiunea de logaritm in baza afiecarui numar pozitiv N i s-a asociat un numar real bine determinat.Acest lucru ne permite sa definim o functie f0, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,fxlogax numita functie logaritmica. Proprietatile functiei logaritmice 1.f10.Cum a01 rezulta ca loga10 si deci f10.2.Functia logaritmica este monotona.Daca a1,atunci functia logaritmica este strict crescatoare,iar daca 0a1,functia logaritmica este strict descrescatoare. Sa consideram cazul a1 si fie x1,x2 EMBED Equation.3 0, EMBED Equation.3 astfel incat x1x2.Cum x1alogax1 si X2alogax2,rezulta ca alogax1alogax2.Dar functia exponentiala fiind crescatoare obtinem ca logax1logax2,adica fx1fx2.In cazul 0a1,din inegalitatea alogax1alogax2 si din faptul ca functia exponentiala cubaza un numar real 0a1 este strict descrescatoare,rezulta ca logax1logax2,adica fx1fx2.3.Functia logaritmica este bijectiva Daca x1,x2 EMBED Equation.3 0, EMBED Equation.3 astfel incat fx1fx2,atunci din logax1logax2.Dar din egalitatea 3 de la punctul 1 obtinem x1alogax1 si x2alogax2,adica x1x2.Deci f este o functie in-jectiva. Fie y EMBED Equation.3 un numar real oarecare.Notam cu xay.Se vede ca x EMBED Equation.3 si logaxlogaayyDeci fxy,ceea ce ne arata ca f este si surjectiva.Asadar,f este bijectiva.4.Inversa functiei logaritmice este functia exponentiala Functia logaritmica f EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,fxlogax,fiind bijectiva,este inversabila.Inversa eieste functia exponentiala g EMBED Equation.3 ,gxax.Intr-adevar,daca x EMBED Equation.3 avem g EMBED Equation.3 fxgfxglogaxalogaxx si daca y EMBED Equation.3 ,atunciatunci f EMBED Equation.3 ylogaayy.3Proprietatile logaritmilorFolosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati pentru logaritmi a.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci logaABlogaAlogaBlogaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere. Intr-adevar,daca logaAx si logaBy,atunci axA si ayB.Cum axyax EMBED Equation.3 ay,obtinem Axy AB si deci logaABxylogaAlogaB. Observatie.Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A1,A2,...,An adica LogaA1A2 AnlogaA1logaA1logaA2 logaAn.b.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci loga EMBED Equation.3 aA-logaB logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre lo...
Download