...a I. Derivata unei functii intr-un punctI.0o Originea notiunii de derivata Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept. I.1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct Fie o functie E ! R E EMBED Equation.3 R si EMBED Equation.3 , x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca este definita in x0.DEFINITIA 11 Se spune ca are derivata in punctul x0, daca exista in EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 notata cu x02 Daca derivata x0 exista si este finita se spune ca functia este derivabila in x0.Observatii. 1. Se poate intampla ca x0 sa existe si sa fie EMBED Equation.3 . 2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii nu se pune in punctele izolate ale multimii E daca E are astfel de puncte!. Presupunem ca x0 exista facand translatia x x0 h, atunci din relatia de definitie rezulta ca EMBED Equation.3 DEFINITIA 2 Daca o functie E ! R este derivabila in orice punct al unei submultimi F EMBED Equation.3 E, atunci se spune ca este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F ! R, x ! x se numeste derivata lui pe multimea F si se noteaza cu . Operatia prin care se obtine din se numeste derivarea lui . TEOREMA 1. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.Demonstratia este simpla Presupunem ca E ! R este derivabila in punctul x EMBED Equation.3 E, deci limita din definitia 1 exista si este finita. EMBED Equation.3 In general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul in origine. In studiul existentei limitei unei functii intr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct, tinand cont ca existenta derivatei implica in fond existenta unei anumite limite. DEFINITIA 3. Fie E EMBED Equation.3 R si x0 EMBED Equation.3 E un punct de acumulare pentru E EMBED Equation.3 . Daca limita EMBED Equation.3 exista in R barat , atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei in punctul x0.Daca , in plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca este derivabila la stanga in punctul x0.In mod similar se definesc derivata EMBED Equation.3 la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta in x0.TEOREMA 2. Daca E ! R este derivabila in punctul x0 EMBED Equation.3 E, atunci este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si EMBED Equation.3 nnnnnnnnnnnnnReciproc, daca este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si daca EMBED Equation.3 , atunci este derivabila in x0 si EMBED Equation.3 Daca Ei a, bs, faptul ca este derivabila in a respectiv b revine la aceea ca este derivabila la dreapta in punctul a respectiv la stanga in b.Exemplu Pentru R!R, x x , avem EMBED Equation.3 Similar se obtine ca EMBED Equation.3 ,regasim ca nu este derivabila in punctul x 0.I.2o Interpretarea geometrica a derivateiDaca a, b!R este o functie derivabila intr-un punct x0 EMBED Equation.3 a, b, atunci conform relatiilor EMBED Equation.3 graficul lui are tangenta in x0 sau mai corect in punctul x0, x0, anume dreapta de ecuatie EMBED Equation.3 Asadar x0 este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui , in punctul x0,x0. Daca x0 EMBED Equation.3 in sensul ca limita din definitie este infinita, atunci tang...
Download