... fie un element din grup . un element din grup , E , numit element identitate este comutabil cu oricare altul si il lasa neschimbat simbolic , este definit prun relatiile EX XE X multiplicarea este asociativa ABC ABCAceasta proptritate este valabila pentru orice numar de elemente ABCDEF ABCDEFGH ABCDEFGH fiecare element are un element reciproc care de asemenea apartine grupului .TEOREM Elementul reciproc a doua sau mai multe elemente este egal cu produsul elementelor reciproce in ordine inversa ABC ..XY -1 Y-1X-1 ..A-1Multimea transformarilor de simetrie ale unui corp oarecare formeaza un grup .Grupul ciclic Un grup G generat de un singur element al sau se numeste grup ciclic . Grupul se obtine prin compunerea succesiva a elementelor generator cu el insusi sau cu alte cuvinte , ca puteri succesive ale elementelor generator .Grupurile ciclice sunt finite dar si infinite . In sudiul grupurilor ciclice este important sa se caracterizeze intru-un anumit fel numarul elementelor grupului . Aceasta se face cu ajutorul ordinului grupului , care este numarul elementelor unui grup . Ordinul unui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinuilui intregului grup . Un grup ciclic de ordin h este definit , cand este definit un element X si puterile sale pana la Xh E . Grupurile ciclice sunt abeliene , adica toate multiplicarile sunt comutative Xn Xm Xm Xn , pentru oricare m si n Exemplu Trebuie sa aflam cate grupuri de ordinul 4 exista si sa dresam tablele lor de multiplicare .Evident exista un grup ciclic pentru care sa utilizam relatiile X A X2 B X3 C X4 ETabla sa de multipicare este G4E A B C E E A B C A A B C E B B C E A C C E A B In grupul G4 numai un element B este propriul sau invers . Grupuri mici care se gasesc intru-un grup mai mare se numesc subgrupuri .Acestea nu mai contin alte subgrupuri in afara de E . TEOREM Ordinul unui subgrup , g , dintru-un grup de ordinul h , trebuie sa fie un divizor al ordinului h , adica hg k , unde k este un numar intreg . Daca A si X sunt doua elemente dintr-un grup atunci X-1A X B , unde B este un element din grup . Exprimam aceasta relatie spunand ca B este transformata de similitudine a lui A prin X sau ca A si B sunt elemente conjugate .Mentionam cateva proprietati ale elementelor cojugate orice element este conjugat cu sine insusi . Aceasta inseamna ca dandu-se un element A se poate gasi cel putin un element X astfel ca A X-1 A XMultiplicand la stanga cu A-1 rezulta A-1 A E A-1 X-1 A X XA-1 AX , care este valabila numai daca A si X sunt comutabile .Astfel elementul X poate fi E sau orice element comutabil cu A . daca A este conjugat cu B , atunci B este conjugat cu A . Acesta inseamna ca daca A X-1 B X , atunci trebuie sa existe un element Y in grup astfel caB Y-1 A Y . Efectuind multiplicarile potrivite rezulta X AX-1 XX-1BXX-1BDaca YX-1 si Y-1X obtinem BY-1AY daca A este conjugata cu B si C , atunci B si C sunt conjugate intre ele . Un set complet de elemente conjugate unul cu altul constituie o clasa a grupului . Pentru a determina clasa dintr-un grup se poate incepe cu un element si se calculeaza toate transformarile utilizand toate elementele din grup , apoi se ia un al doilea element care nu s-a gasit a fi conjugat cu primul si i se determina toate transformarile si tot asa pana cand toate elementele din grup au fost aranjate intr-o clasa sau alta . Ordinele tuturor claselor dintr-un grup trebuie sa fie factori intregi ai ordinului grupului .Grupurile de simetrie O li...
Download