...32931...Obs.Singurul nr.prim si par este 2. Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica il impartim la toate numerele prime cu care este divizibil.Daca este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci numarul este prim. Dupa aceste mici explicatii, Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele doua numere in factori primi.Atunci seniorul nota pe hartie220 2 x 2 x 5 x 11284 2 x 2 x 71Dar exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii lui, divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate de acestia.Daca reluam calculul adaugand si pe 1 unu printre factorii primi se poate constata ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284.2 x 2 4 2 x 5 102 x 11 225 x 11 552 x 2 x 5 202 x 2 x 11 442 x 5 x 11 110Deci 1 2 4 5 10 20 11 22 44 55 110 284Daca il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 712 x 2 42 x 71 142Deci 1 2 71 142 220Seniorul pleca multumit de explicatia data de mare Pitagora si astfel reusi sa inteleaga mesajul cavalerului. Raspandindu-se vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora, intr-o dimineata acesta se trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in incurcatura pe marele invatat. Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema care se pezenta astfelUn copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui. Ea are de trei ori mai multe cirese decat are el alune. Daca inmultim numarul ce reprezinta varsta copilului cu numarul cireselor obtinem 510. Ce varsta are sora copilului si cate alune are el. Pitagora se gandi un pic si isi dadu seama ca are de a face din nou cu numerele prime. Astfel daca descompunem in factori primi numarul 510, obtinem 2 x 3 x 5 x 17. Varsta frateleui trebuie sa fie compusa din doi dintre acesti factori. Cum este dublul varstei sorei, unul din numere neaparat este 2. Numarul cireselor trebuie sa fie un multiplu de 3. Raman doi factori primi 5 si 17. Dar varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 34, pentru ca este inca un copil. Atunci putem spune ca are 2 x 5 10 ani, iar surioara lui are 10 5 5 ani. Numarul cireselor va fi de 3 x 17 51, iar cel al alunelor este 17. Dar Pitagora il provoca pe musafirul sau sa rezolve si el o problema destul de simpla, iar acesta accepta. Problema spunea cam asa cevaCare sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6 Rezolvareab,a este numar natural nenul si axb6ab sunt divizori ai lui 6D6I1236Sa1,b6ab16 si nu este nr. prima2,b3ab23 si este prima3,b2ab32 si nu este prima6,b1ab61 si este primabI2361S Pitagora fu multumit de raspunsul musafirului sau si ii mai puse acestuia o intrebare tot din domeniul matematicii. Dar numaidecat isi dadu seama ca nu ia spus acestuia cate ceva despre divizibilitate pentru a putea rezolva si aceasta problema. Asa ca incepu sa ii spuna urmatoarele definitiiDefinitia divizibilitatiiSpunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un nr.c, astfel incat adxcEx30 se divide cu nr.5,pentru ca exista un nr.6,astfel incat 305x6. da se citeste d divide a da exista c,astfel incat adxc,d si a sunt nr.nat. ad se citeste a este divizibil cu dProprietati ale divizibilitatii1 1a, a este nr. nat.2 aa,a este nr.nat.3da dab, a,b si d sunt nr.nat. da exista nr.nat.c,a.stfel incat adc abdcxb si cb este nr. nat. abd4da si dbdab Demonstratieda exista a nr.nat.,a.i. adxadb exista b nr.nat.,a.i. bdxbabdxadxbdababc abdxc dabObsla fel si pentru da si db da-bCriterii de divizibilitate Criteriul de divizibilitate cu 2Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este para.Exnr.2345678 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 8 si este cifra para nr.2000 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 0 si este cifra para.Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare. Criteriul de divizibilitate cu 5Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0 sau 5. Criteriul de divizibilitate cu 4Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4. Criteriul de divizibilitate cu 8Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8. Criteriul de divizibilitate cu 25Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25,adica daca ultimele sale 2 cifre sunt002550 75. Criteriul de divizibilitate cu 125Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125. Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele sale n cifre sunt zerouri. Criteriul de divizibilitate cu 3Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un nr.divizibil cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 9Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9. Criteriul de divizibilitate cu 6Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 15Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 11Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.Ex.1925951412314-3111111192511Dar sa aflam problemaSa se afle cel mai mic numar natural de doua cifre,care impartit la 10, 15 si 18 sa dea restul 2. Rezolvare x10c1 r2 x15c2 r2 x18c3 r2x10c12 x15c22 x18c32x-2i101518sx-290x90292Nici nu observara cand trecu timpul asa ca urmatoarea problema rezolvata de musafirul lui Pitagora arata cam asaDetermina cel mai mic a,astfel incat nr. 3579a sa fie divizibil cu 11. Rezolvarea73a10.5914 i14-10as1114-10a0 10a14a14-10a4374-5914-1400113579411Pitagora spuse o alta problema crezand ca isi va pune musafirul in mare incurcatura, dar acesta o rezolva pe loc astfelCare este numarul divizorilor naturali ai numaruluip2x3x5 RezolvareNr. divizorilor este3111214x2x324In timp ce Pitagora cu musafirul sau se delectau rezolvand probleme, la usa lui Pitagora aparu un tanar care avea o problema cu mostenirea lasata de tatal sau. La inceput Pitagora nu a vrut sa il ajute, dar mai tarziu ascultandu-i problema mai pe indelete se invoi sa ii dea o mana de ajutor. Iata cum se prezenta problemaUn negustor grec avea trei fii. Dupa moartea sa, el lasa mostenire celor trei copii ai lui 19 camile.Dar el le-a spus copiilor sa le imparta in felul urmator fiul cel mare sa ia jumatate din numarul camilelor, cel mijlociu 14 din toate camilele, iar cel mai mic 15 din numarul lor.Dupa moartea tatalui lor, cei trei feciori au incercat sa imparta intre ei camilele asa cum lasase cu limba de moarte parintele lor. Dar neizbutind sa faca imparteala, au cerut sfatul invatatului Pitagora. Astfel ca Pitagora se duse impreuna cu tanarul in ...
Download