...fara ca functiile f si g sa fie ambele definite in punctul x0.Are loc analogul teoremei enuntate pentru limite la stangasi anumeFie f,ga,x0R.Presupunem satisfacute urmatoarele conditii1.f si g derivabile pe a,x02.lim fx lim gx 03.gx si gx nu se anuleaza intr-o vecinatate V a lui x0, x V a,x0 fx4.Exista lim gx fxIn aceste conditii,lim exista si este egala cu . gxDemonstratia este imediata,de indata ce remarcam ca functiile f1, g1 a,x0R,f1xfx,daca x a,x0,f1x00g1xgx,daca x a,x0 si g1x00 sunt continue pe a,x0 ele sunt prelungirile prin continuitate in punctul xx0 ale lui f,respectiv g si ca se verifica conditiile regulii lui lHospital.Desigur are loc o teorema similara,inlocuind intervalul a,xo cu intervalul xo,b,pentru limite la dreapta.bRegula lui lHospital ne permite sa tratam si alte cazuri exceptate de fxpilda cazul .Daca ne intereseaza lim si daca fx,gx,atunci 1 gx fx gx 1 1putem scrie si atunci 0, 0,reducandu-neastfel la cazul gx 1 gx fx 0 fx ,studiat anterior. 0cEste interesant ca regula lui lHospital se aplica nu numai pentru xo finit,dar si in cazul cand xo este aruncat la infinit.Are loc atunciFie f si g doua functii reale definite pe un interval a,,a0.Presupunem ca1.f si g sunt derivabile pe a,2.lim fx lim gx l,unde l 0, sau -3.gx 0pentru orice x suficient de marexA,Aa fx4.Exista lim gx fxAtunci exista si limita lim ,egala cu . gxun enunt similar are loc pentru x - 1 Demonstratie.Presupunem l 0.Facem schimbarea de variabila x . 1 u Intervalul a, se transforma in 0, in sensul ca,daca x a,,atunci 1 a 1 1u 0, si reciproc. Notam u f,ugdeoarece l0,avem a u u 1 1lim u lim u 0.Derivatele lor vor fi u - f, 1 1 u uu - g.Putem aplica functiilor si teorema 2 si rezulta u uCazul l sau l- rezulta din b.In calculul limitelor de functii se recomanda combinarea metodelor elementare cu regula lui lHospital.Cazurile considerate anterior acopera multe din situatiile intalnite. Retinem ca in conditiile teoremelor enuntate,existenta limitei catului derivatelor asigura existenta limitei catului initial,limitele respective fiind egale. 0 Pana acum am considerat numai cazurile si .In cazurile exceptate 0,-,0 , ,1 ,nu exista reguli de tip lHospital care sa fi direct aplicate si sunt necesare unele prelucrari ale functiei de sub limita.Aplicatii1Sa se calculeze ,folosind regula lui lHospital,urmatoarele limite2Cum poate fi utilizata regula lui lHospital pentru a calculaconsideram functiasi aplicam limita23Sa se arate ca,desi limitaexista,regula lui lHospital nu poate fi aplicata aici direct.pentru x raportul fx nu are limita.4Se da functia fRR,f derivabila pe R cu derivata continua pe R si fa0 pentru a fixat.Daca g,h sunt functii derivabile pe R cu derivata continua si daca gaha0si ha0,atunci limita nu depinde de functia f. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 a!GHLMhizILNPQRjsCJjiCJjeCJjl5CJj5CJj5CJ56CJje5CJ5
CJ56CJ5CJ5CJajCJUmHCJCJ0Aa!4ESRLqviaa!4ESRLqvQza.Gn
arsFxFQun.iià1zyaScS34iABCKLefxyzIDEFGHIiDEHIJKSii
iiaaaiIIIIIIj5CJjs5CJ5CJji5CJ56CJ5CJ6CJj-CJjCJjlCJj
CJjCJjaICJCJCJEvQza.GnarsFxFa7i,-.034578iAQRSTXYsab
xIS...
Download